Matura z matematyki na poziomie podstawowym, czyli jak rozwiązać najtrudniejsze zadania

W roku 2016 na maturze z matematyki na poziomie podstawowym pojawiły się dwa zadania, w których należało udowodnić podaną tezę – to zadania nr 29 i 30 z arkusza maturalnego. Nie są one zbyt trudne, jednak wielu maturzystów zapewne zniechęciły polecenia. Przypatrzmy się im.

Zadanie 29

Dany jest trójkąt prostokątny 1. Na przyprostokątnych 2. i 3. tego trójkąta obrano odpowiednio punkty 4. Na przeciwprostokątnych 5. wyznaczono punkty 6. takie, że 7. (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt9. jest podobny do trójkąta 10.

11.

Na początek zauważmy, że trójkąt 1. jest trójkątem prostokątnym, co sprawia, że suma obu kątów ostrych w tym trójkącie jest równa kątowi prostemu. Jeśli miarę kąta 01 nazywamy 02, a miarę kąta 03 nazwiemy 04, to otrzymamy równość 05 Przyjrzyjmy się teraz trójkątowi 06 Ten trójkąt też jest prostokątny, a 07 Stąd wynika, że 08 Teraz kolej na trójkąt 9.. To też jest trójkąt prostokątny oraz 011 Stąd wynika, że 09 A zatem trójkąt 010 mają kąty o takich samych miarach. Na podstawie cechy podobieństwa trójkątów kąt–kąt można stwierdzić, że trójkąty te są podobne, czego należało dowieść.

Zadanie 30

Ciąg a jest określony wzorem b Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.

Dwie kolejne liczby naturalne różnią się o 1, zatem możemy je zapisać jako c Kolejne wyrazy tego ciągu zapiszemy jako d a ich sumę jako e Zobaczmy, czemu sie równa ta suma: fg Widać, że ostatnie wyrażenie jest kwadratem liczby naturalnej dla dowolnego h gdyż ij, a liczba k jest liczbą naturalną dla każdego h.

W roku 2015 na maturze z matematyki na poziomie podstawowym w zadaniach nr 27 i 28 należało wykazać podaną tezę. Dość trudne wydaje się również zadanie nr 34 z uwagi na wielość występujących tu ciągów, co zwiększa prawdopodobieństwo pomyłki.

Przypatrzmy się tym zadaniom po kolei.

Zadanie 27

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest nierówność a1

Ponieważ dla każdej liczby rzeczywistej jej kwadrat jest liczbą nieujemną, możemy zauważyć, że a2 Jak już stwierdziliśmy, kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, więca3 A zatem dla każdych dwóch liczb rzeczywistych x i y zachodzi a4 czego należało dowieść.

Zadanie 28

Dany jest kwadrat 58. Przekątne b1 przecinają się w punkcie b2 Punkty b3 są środkami odcinków – odpowiednio –b4 Punkty b5 leżą na przekątnej b6 tak, że b7 (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta b8 do pola kwadratu 58 jest równy b9

b10

Czworokąt 58 jest czworokątem wypukłym, możemy obliczyć jego pole jako połowę iloczynu długości jego przekątnych i sinusa kąta między przekątnymi. Oznaczmy: b11 oraz b12, a pole czworokąta 58 oznaczamy przez 40. Mamy wówczas b13 Przypatrzmy się czworokątowi b8 Z warunków zadania wynika, że b14 a b15 W naturalny sposób zachodzi b16 Pole czworokata b8 oznaczamy jako b17 Mamy wówczas b183aSkoro 3b a właśnie to mieliśmy udowodnić.

Zadanie 34

W nieskończonym ciągu arytmetycznym a, określonym dla 2a suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy 2b ciągu a, w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trójwyrazowy ciąg geometryczny 3c Oblicz 3d

Najpierw należy znaleźć ciąg arytmetyczny a czyli jego pierwszy wyraz i różnicę. Będziemy wykorzystywać znane wzory: 3e oraz 3f gdzie 3g to pierwszy wyraz ciągu a, 3h to jego różnica , a h to numer wyrazu. W Wyniku analizy pierwszego warunku podanego w zadaniu otrzymujemy równanie 3i Zauważmy, że 3j mamy więc 3k czyli 3l

Z kolei drugi warunek można zapisać jako 3m W wyniku przekształcenia go, otrzymujemy kolejne równości 3n A zatem 3o Oba te związki zachodzą jednocześnie. Otrzymujemy więc układ równań 3p Jeżeli od drugiego z tych równań odejmiemy pierwsze, a pierwsze równanie zostawimy, nasz układ będzie równoważny układowi wyjściowemu:3r Poprzekształcajmy nasz układ równań.

3s

Mamy zatem ciąg a Możemy przystąpić do analizy warunku danego dla ciągu 3cJest to trójwyrazowy ciąg geometryczny, zatem zachodzi równość 3t Wystarczy teraz zapisać kolejne wyrazy ciągu 3x Uzyskane wielkości podstawiamy do równości i otrzymujemy równanie, w którym niewiadomą jest 3d 3y Przekształćmy je. 3z

3zz

Wystarczy jeszcze napisać odpowiedź: 3zzz

Rejestracja w serwisie jako: